DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO
Il procedimento da seguire per le disequazioni di 2° grado si differenzia rispetto al 1°: occorre tener conto di questi fattori:
a) verso della disequazione, che può essere > 0 (equivale a maggiore di zero, positivo, + ) oppure < 0 (minore di zero, negativo, - ).
b) discriminante b2-4ac
che può essere positivo (due soluzioni distinte x1
e x2 nell'equazione associata), nullo (due soluzioni coincidenti x1=x2)
o negativo (nessuna soluzione). Il discriminante si indica con la lettera
greca delta (Maiuscola):
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delta > 0 |
delta = 0 |
delta < 0 |
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disequazione>0 |
valori esterni a x1 e x2 |
tutti i valori, meno x1=x2 |
per ogni x reale |
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disequazione<0 |
valori interni a x1 ex2 |
nessuna soluzione |
nessuna soluzione |
Ovviamente, quando la disequazione è in senso lato (>= oppure <=), alle soluzioni precedenti vanno aggiunte le soluzioni dell' equazione associata.
Esempi: 1) -x2+3x-2>0 moltiplico per -1: x2-3x+2<0 poi risolvo l'equazione associata, trovando le soluzioni x1 = 1 e x2 = 2. Le soluzioni sono pertanto date da I = (1;2). La parentesi tonda indica che gli estremi 1 e 2 non appartengono ad I, essendo la diseguaglianza in senso stretto; quando gli estremi appartengono, si usa la parentesi quadra.
2) x2-3x+2>=0 risolvo l'equazione associata e trovo x1 = 1 e x2 = 2; le soluzioni sono quindi date da I=(-inf;1]U[2;+inf) ove inf sta per infinito.
3) 4x2-12x+9>=0 in questo caso delta=0, tutti i numeri reali, inclusi x1=x2=3/2, sono soluzione: I=(-inf;+inf).
4) 4x2-12x+9<=0 come sopra delta =0, e la disequazione è <=0; quindi unica soluzione x1=x2=3/2.
5) 4x2-2x+9>=0 delta è negativo:(-2)2-4*4*9=-140, e l'equazione associata non ha soluzioni reali; ma la disequazione è sempre verificata: I=(-inf;+inf).
6) 4x2-2x+9<0 è il caso complementare del precedente: nessuna soluzione reale.
