DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO

Il procedimento da seguire per le disequazioni di 2 grado si differenzia rispetto al 1: occorre tener conto di questi fattori:

a) verso della disequazione, che pu essere  > 0 (equivale a maggiore di zero, positivo, + ) oppure < 0 (minore di zero, negativo, - ).

b) discriminante  b2-4ac che pu essere positivo (due soluzioni distinte x1 e x2 nell'equazione associata), nullo (due soluzioni coincidenti x1=x2) o negativo (nessuna soluzione). Il discriminante si indica con la lettera greca delta (Maiuscola):

 

delta > 0

delta = 0

delta < 0

disequazione>0

valori esterni a x1 e x2

tutti i valori, meno x1=x2

per ogni x reale

disequazione<0

valori interni a x1 ex2

nessuna soluzione

nessuna soluzione

Ovviamente, quando la disequazione in senso lato (>= oppure <=), alle soluzioni precedenti vanno aggiunte le soluzioni dell' equazione associata. 

Esempi:   1) -x2+3x-2>0  moltiplico per -1:  x2-3x+2<0 poi risolvo l'equazione associata, trovando le soluzioni x1 = 1 e x2 = 2. Le soluzioni sono pertanto date da  I = (1;2). La parentesi tonda indica che gli estremi 1 e 2 non appartengono ad I, essendo la diseguaglianza in senso stretto; quando gli estremi appartengono, si usa la parentesi quadra. 

 2)  x2-3x+2>=0 risolvo l'equazione associata e trovo x1 = 1 e x2 = 2; le soluzioni sono quindi date da  I=(-inf;1]U[2;+inf) ove inf sta per infinito.

 3) 4x2-12x+9>=0  in questo caso delta=0, tutti i numeri reali, inclusi  x1=x2=3/2, sono soluzione: I=(-inf;+inf).

4) 4x2-12x+9<=0  come sopra delta =0, e la disequazione <=0; quindi unica  soluzione x1=x2=3/2.

 5) 4x2-2x+9>=0 delta negativo:(-2)2-4*4*9=-140, e l'equazione associata non ha soluzioni reali; ma la disequazione sempre verificata:  I=(-inf;+inf).

 6) 4x2-2x+9<0 il caso complementare del precedente: nessuna soluzione reale.

GRAFI

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