DISEQUAZIONI FRATTE
Quando il rapporto fra due espressioni ha la forma di disequazione, non si può, come nelle equazioni, eliminare il denominatore moltiplicando per un opportuno fattore diverso da zero; qui occorre tener conto dei segni e del numeratore e del denominatore: entrambi concorrono alla determinazione del segno dell'espressione.
Qualunque sia il verso della disequazione, per risolvere si può determinare gli intervalli in cui numeratore e denominatore sono positivi; ove i valori x non sono positivi, ovviamente saranno negativi, ad eccezione dei punti di passaggio tra positivo e negativo: lì x assume valore 0. Importante: il denominatore non deve mai assumere valore 0, pur se la disuguaglianza fosse data in senso largo (<= o >=). Una volta stabiliti i segni per gli intervalli in cui numeratore e denominatore sono stati suddivisi, combinando i segni con la regola del prodotto, si determina il segno risultante in ciascun intervallo: se questo verifica il segno della disequazione, i valori x dell'intervallo appartengono all'insieme delle soluzioni; dall'unione degli intervalli che verificano si ha l'insieme delle soluzioni.
Vediamo un esempio:
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(3x²-5x-2)(x-7) <=0 (x²-16) |
In questo caso non si accettano i due valori, x1= 4 e x2 = -4 che rendono nullo il denominatore; poniamo (3x²-5x-2)>0 e risolviamo trovando I=(-inf;-1/3)U(2;+inf); da x-7>0 si ricava x>7 cioè I=(7;+inf) e da (x²-16) >0 si ha I=(-inf;-4)U(4;+inf); intersecando ora i tre intervalli in modo da ottenere il segno - (infatti la disequazione è negativa o nulla) si ricava I=(-inf;-4)U[-1/3;2]U(4;7] tenuto anche conto che si accettano i valori -1/3; 2; 7 in cui l'espressione si annulla. Confronta, per una migliore comprensione, la rappresentazione grafica della disequazione cliccando su:
